今天讲讲数量关系中牛吃草的问题。

草地上的草如果不长，牛的数量和牛吃草的速度恒定，那么这就是个简单的工程问题。

草的存量=牛吃草的速度*时间

但是草也在长，多了个增量，就成了牛吃草问题。牛吃草的速度快过草长的速度，两者相差即草的净消耗效率。

牛越少，净消耗效率越低，吃的时间就长，草的总量（原有草量+生长草量）就越多。

虽然多个变量，但实际上仍为工程问题，草的存量=草的净消耗效率*时间。

于是，就有了牛吃草的基本公式——

y=（N-x）*T

y 代表原有存量

N 代表促使原有存量减少的变量

X 代表存量的自然增长速度

T 代表存量完全消失所耗用的时间

举个例子：

有一块草地，可供10头牛吃8天，可供8头牛吃12天，那么可供6头牛吃几天？
A.16 B.20 C.24 D.28

趣学馆解析：

假设草地原有草量y，草长的速度x，每头牛每天吃1份草，则

y=（10-x）*8

y=（8-x）*12

联立得x=4，y=48

代入目标条件48=（6-4）*t

t=24，选C。

常见题材有：

典型牛吃草问题

抽水机抽水问题

检票口检票问题

资源开采问题

善于观察总结的同学就会发现，这几种实际上都是一边出一边进的情况。本质上，都是牛吃草，只不过是变形而已。

1.公式法

基本公式是y=（N-x）*T

按照常规做法，我们通常把题目前两个条件代入，得到

y=（n1-x）*t1

y=（n2-x）*t2

联立得到（n1-x）*t1=（n2-x）*t2

x=（n1t1-n2t2）/（t1-t2）

即草地每天新长草的量=(牛的头数1×吃草较多的天数-牛的头数2×吃草较少的天数)÷（吃的较多的天数-吃的较少的天数)

这就是基础公式再往前一步的公式。

如果题目是给两个条件，再问第三种条件，可以直接套用公式。

举个例子：

某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需30分钟，同时开5个检票口需20分钟。如果同时打开7个检票口，那么需多少分钟？
A.10 B.12 C.15 D.18

趣学馆解析：

这种题材，可以把检票口当做牛，旅客当成草。

直接套公式——每分钟来旅客速度=（4×30-5×20）/(30-20)=2

原有排队旅客=（5-2）×20=60

60=（7-2）t

t=12，选B

图表法

在大机构的教材里，会给出牛吃草的列表解法。

其操作过程实际上就是公式法的解方程过程表格化。

文字描述太啰嗦，拿个例子操作一下。

某水库共有10个泄洪闸，当10个泄洪闸全部打开时，8小时可将水位由警戒水位降至安全水位；只打开6个泄洪闸时，这个过程为24小时。如果水库每小时的入库量稳定，问如果打开8个泄洪闸，需要多少小时可将水位降至安全水位？
A.10 B.12 C.14 D.16

趣学馆解析：

第一步，写出n3、n1、n2，t1，t2，分两列，中间空出一列位置。

第二步，n1×t1和n2×t2写在右侧，分别为80和144，横线底下写t2与t1的差24-8=16，以及总量差144-80=64。

第三步，x=64/16=4，写在刚才空出的一列，这列往上分别写出n-x的值。

第四步，第二列实际上就是净消耗率，与第三列时间相乘得到的是y，都是48，所以t=48/4=12，选B。

3.比例法

（18深圳-46）某轮船发生漏水事故，漏洞处不断地匀速进水，船员发现险情后立即开启抽水机向外抽水。已知每台抽水机每分钟抽水20立方米，若同时使用2台抽水机15分钟能把水抽完，若同时使用3台抽水机9分钟能把水抽完。当抽水机开始向外抽水时，该轮船已进水（ ）立方米。
A.360 B.450 C.540 D.600

趣学馆解析：对照一下基础公式，

草的存量=草的净消耗效率*时间。

题目给两个条件，

草总量=净消耗效率1×时间1=净消耗效率2×时间2

总量一定，净消耗效率和时间就成反比。

本题中，15分钟：9分钟即时间比5:3

净消耗效率比为3:5

3台比2台多1台，转化为实际值就是1.5:2.5

也就是说2台抽水机净消耗效率1.5，3台是2.5

代入条件1，已进水y=1.5×15×20=450

代入条件2，已进水y=2.5×9×20=450

结果都是一致的，选B。

拓展

1.牛羊混杂

一块草地，每天生长的速度相同。现在这片牧草可供16头牛吃20天，或者供80只羊吃12天。如果1头牛一天的吃草量等于4只羊一天的吃草量，那么10头牛与60只羊一起吃可以吃多少天？
A.5 B.6 C.7 D.8

趣学馆解析：像这种牛羊混杂在一起的，先要统一转化成同一种动物，牛或者羊都行。

假设统一成牛，1牛=4羊，题目就变成可供16头牛吃20天，可供20头牛吃12天，那么可供25头牛吃几天？

实际上就转化成了基础题型，过程略。

2. 草不增反减

由于天气逐渐变冷，庄园里的蔬菜每天以均匀的速度减少。经计算，庄园里的蔬菜可供20个大人吃5天，或供32个小孩吃6天。如果大人每天吃的蔬菜是小孩的2倍，那么可供11个大人吃几天？
A．12 B．10 C．8 D．6

趣学馆解析：首先，有大人有小孩，统一一下。目标问大人，转成大人，供32个小孩吃6天，即供16个大人吃6天。

其次，注意蔬菜是在减少的，跟一般草在自然生长相反，这种题目属于草消亡型。公式仍然可以用，只是要改变符号，n-x要变成n+x。

x=（20×5-16×6）/(6-5)=4

y=(16+4)×6=120

（注意：这边如果算成16-4就错了）

120=（11+4）×8，选C。

3.草地面积不同

有三块草地,面积分别为5,6,和8公顷.草地上的草一样厚,而且长得一样快.第一块草地可供11头牛吃10天,第二块草地可供12头牛吃14天.问第三块草地可供19头牛吃多少天?
A.10 B.9 C. 8 D.7

趣学馆解析：这边草地不一样大，还是需要统一。可以化为最小公倍数120公顷。

则题目转化成，有一块120公顷的草地，第一块草地可供11×24头牛吃10天,第二块草地可供12×20头牛吃14天.问第三块草地可供19×15头牛吃多少天?

4.草长快了

在春运高峰时，某客运中心售票大厅站满等待买票的旅客，为保证售票大厅的旅客安全，大厅入口处旅客排队以等速度进入大厅按次序等待买票，买好票的旅客及时离开大厅。按照这种安排，如果开出10个售票窗口，5小时可使大厅内所有旅客买到票；如果开12个售票窗口，3小时可使大厅内所有旅客买到票，假设每个窗口售票速度相同。现在大厅入口处旅客速度增加到原速度的1.5倍，要在2小时内使大厅中所有旅客买到票，至少应开售票窗口数为( )。
A．15个 B．16个 C．18个 D．19个

趣学馆解析：题干很长，但是瞄一眼判断是牛吃草问题，前面的废话可以略去。

X=（10×5-12×3）/（5-3）=7

Y=（10-7）×5=15

现在大厅入口处旅客速度增加到原速度的1.5倍，即x变为1.5x=10.5，代入公式15=（n-10.5）×2

解得n=18